ISTITUZIONI DI MATEMATICA

Crediti: 
8
Settore scientifico disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Conoscenza delle nozioni e degli strumenti di base dell'analisi matematica e della statistica.
Capacità di utilizzare tali strumenti per lo studio dei grafici di funzioni, per la risoluzione di problemi connessi con lo studio di funzioni.
Capacità di applicare tali strumenti allo studio di fenomeni sperimentali (per creare modelli e/o interpretare correttamente i dati).

Contenuti dell'insegnamento

Insiemi numerici: definizioni e proprietà.
Funzioni: definizioni e principali proprietà.
Limiti e continuità: definizioni, teoremi sulle funzioni continue.
Calcolo differenziale: definizioni, teoremi ed applicazioni, studio del grafico delle funzioni reali.
Calcolo integrale: definizioni, teoremi ed applicazioni.
Statistica: definizioni di base.

Programma esteso

Numeri naturali, interi, razionali e reali: definizione, operazioni, proprietà delle operazioni e delle potenze con esponente razionale. Gli intervalli e gli intorni della retta reale. Equazioni, disequazioni, valore assoluto.

Funzioni: definizione, dominio, codominio e immagine. Funzioni iniettive, surgettive, biunivoche, l'inversa di una funzione biunivoca. Composizione di funzioni: definizione e proprietà, proprietà e unicità dell'inversa. Grafico di una funzione. Funzioni algebriche (polinomiali): funzioni lineari, quadratiche, monomiali, interpolazione di dati, funzioni pari e dispari. Funzioni monotone: (non) crescenti, (non) decrescenti, invertibilità di una funzione monotona. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme di R, funzioni limitate, punti di massimo e minimo (locale/relativo e globale/assoluto) di una funzione reale.

Limiti e continuità: definizione (al finito ed all'infinito), limite destro e limite sinistro, proprietà e calcolo dei limiti, forme indeterminate per prodotto, somma e quoziente. Continuità di una funzione reale:definizione, continuità delle funzioni polinomiali razionali, asintoti orizzontali e verticali. Teoremi su limiti e continuità: continuità della composizione, Weierstrass, esistenza degli zeri, permanenza del segno, teorema dei valori intermedi, invertibilità delle funzioni continue, continuità dell'inversa, teorema del confronto.

Funzioni trascendenti: funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche, definizione, calcolo, proprietà (iniettività, surgettività, funzioni inverse, continuità), interpolazione di dati.

Calcolo differenziale: rapporto incrementale e suo significato geometrico, derivata di una funzione, derivata destra e sinistra, derivabilità e continuità, derivate di funzioni algebriche e trascendenti. Calcolo delle derivate: derivata di somma, prodotto, quoziente, composizione e inversa. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange. Applicazioni: calcolo di limiti con la regola di de l'Hopital, approssimazione con lo sviluppo di Taylor, studio qualitativo del grafico di una funzione, monotonia, ricerca di massimi e minimi, concavità e convessità, asintoti.

Calcolo integrale: definizione di integrale, funzioni integrabili, linearità ed additività dell'integrale. Funzioni primitive: definizione e proprietà, formule di integrazione di funzioni algebriche e trascendenti, integrale definito e integrale indefinito, primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema del valor medio. Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri.

Statistica: media aritmetica, media geometrica, mediana, moda, varianza, scarto quadratico medio, distanza interquartile, distribuzioni a due caratteri, retta di regressione (metodo dei minimi quadrati), coefficiente di Pearson.

Bibliografia

Abate M. "Matematica e statistica - Le basi per le scienze della vita" Mc Graw Hill Ed.

Villani V. "Matematica per discipline biomediche" Mc Graw Hill Ed.

Marcellini P. - Sbordone C. "Elementi di calcolo. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea" Liguori Ed.

Marcellini P. - Sbordone C. "Esercizi di matematica - Volume I" Liguori Ed.

Metodi didattici

Durante le lezioni verranno presentati i concetti e gli strumenti di base dell'analisi matematica e della statistica corredati da numerosi esempi ed esercizi che aiutino a comprendere i concetti e ad applicarli nella risoluzione di problemi concreti. Parallelamente al corso si terranno delle esercitazioni per richiamare alcune nozioni di base e presentare ulteriori esempi ed esercizi.

Modalità verifica apprendimento

Esame scritto per verificare la capacità di applicare gli strumenti forniti dalla teoria alla la risoluzione di problemi numerici concreti.
Esame orale per verificare la conoscenza delle definizioni e dei risultati di base della teoria.